문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 게이지 장 (문단 편집) === 슈뢰딩거 방정식에서의 게이지 변환 === 먼저 슈뢰딩거 방정식에서 무슨 일이 벌어지는가를 살펴보자. 그럴려면 먼저 스칼라 퍼텐셜 [math(\displaystyle \phi)]와 벡터 퍼텐셜 [math(\displaystyle \mathbf{A})] 내에서 전하 [math(\displaystyle -e)]를 띤 한 고전적인 입자의 [[해밀토니안]]을 알아야 한다. 자유 변수 [math(\displaystyle q_i)]에 대한 [[라그랑지안]] [math(\mathscr{L})]이 주어져 있을 때 해밀토니안은 [math(\displaystyle \mathcal{H} = \sum_i p_i \dot{q_i} - \mathscr{L})]로 주어지는데 ([math(\displaystyle \dot{q_i} = dq_i / dt)]), 여기서 [math(\displaystyle p_i = \frac{ \partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}})]로 정준 켤레 관계이다. 한편 전하 [math(\displaystyle -e)]를 띤 입자의 경우 [math(\displaystyle q_i = x_i)]이고 라그랑지안은 (고전적인 극한에서) [math(\displaystyle \mathscr{L} = \frac{1}{2} mv^2 + e\phi - e\mathbf{A} \cdot \mathbf{v})]로 주어진다.[* [[상대성 이론]]을 참고할 것.][* 결론적으로 말하자면 전하를 띈 입자의 해밀토니안도 아래에서 고전적 물리량을 양자적인 물리량으로 변환한 형태와 같다. 아래는 그러한 변환이 갖는 물리적 직관을 돕기 위한 설명이다.] [math(\displaystyle \mathcal{H} = \frac{1}{2m} (\mathbf{p} + e\mathbf{A})^2 - e\phi)]. 여기서 [math(\displaystyle \mathbf{p} = m\mathbf{v} - e\mathbf{A})]이다. 이러한 라그랑지안-해밀토니안 체계에 익숙하지 않은 사람들은 이렇게 [math(\displaystyle \mathbf{p})]를 정의하는 것이 의아할 수도 있을 것이다. 하지만 사실 '''실제로 보존되는 양은 [math(\displaystyle m\mathbf{v})]가 아닌 [math(\displaystyle \mathbf{p} = m\mathbf{v} - e\mathbf{A})]이다'''. 아무튼 여기선 별로 중요한 게 아니고 어쨌든 이 상황에서 실제 '운동량'은 [math(\displaystyle m\mathbf{v})]가 아닌 [math(\displaystyle \mathbf{p} = m\mathbf{v} - e\mathbf{A})]라는 것이다. 그래서 해밀토니안이 저렇게 써지는 것이다. 이제 늘 하던대로(?) 이 해밀토니안을 가지고 슈뢰딩거 방정식을 써 보자. 그냥 [math(\displaystyle \mathbf{p})]를 [math(\displaystyle \frac{\hbar}{i} \nabla)]로 바꾸는 식으로 해밀토니안을 연산자로 바꾼 다음 슈뢰딩거 방정식 [math(\displaystyle i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi = \mathcal{H} \psi)]에 대입하면 된다. 그 결과는 다음과 같다. [math(\displaystyle i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\mathbf{x}, t) = \left( \frac{1}{2m} (-i\hbar \nabla + e\mathbf{A})^2 - e\phi \right) \psi(\mathbf{x}, t))]. 이때 주의할 것인 [math(\displaystyle (-i\hbar \nabla + e\mathbf{A})^2 \psi = -\hbar^2 \nabla^2 \psi - ie\hbar \nabla \cdot ( \mathbf{A} \psi ) - ie\hbar(\mathbf{A} \cdot \nabla) \psi + eA^2 \psi)]로, 둘째 항과 셋째 항은 일반적으로 다르다. 즉, [math(\displaystyle (\mathbf{A} \cdot \nabla) \psi \ne (\nabla \cdot \mathbf{A}) \psi)]이다. 이제 게이지 변환을 생각해 보자. 게이지 변환이 [math(\displaystyle \phi \to \phi' = \phi - \partial \Lambda / \partial t, \mathbf{A} \to \mathbf{A}' = \mathbf{A} + \nabla \Lambda)]로 변환되는 상황을 생각해 보자. 고전적인 결과에서는 이러한 변환이 이뤄져도 물리적인 결과가 달라지진 않았다. 마찬가지로 양자역학에서도 물리적인 결과가 달라지진 않으리라고 여기는 것이다. 그런데 이렇게 해밀토니안이 바뀌면 처음의 파동함수가 이렇게 변환된 후의 해밀토니안에 대한 슈뢰딩거 방정식의 한 해가 되리란 보장은 없다. 실제로도 그렇고. 따라서 '''파동함수에도 어떤 게이지 변환이 이루어져야 한다'''. 그런 변환을 [math(\displaystyle \psi(\mathbf{x}, t) \to \psi'(\mathbf{x}, t))]라 하자. 이 변환이 올바른 게이지 변환이기 위해선 다음을 만족해야 한다. - [math(\displaystyle \psi')]가 게이지 변환 된 후의 해밀토니안에 대한 슈뢰딩거 방정식의 올바른 해일 것. - 모든 [math(\displaystyle \mathbf{x}, t)]에 대해 [math(\displaystyle |\psi'(\mathbf{x}, t)|^2 = |\psi(\mathbf{x}, t)|^2)]일 것. 사실 둘째 조건으로부터 큰 힌트를 얻을 수 있다. 바로 [math(\displaystyle \psi'(\mathbf{x}, t) = \exp{(i\lambda(\mathbf{x}, t))} \psi(\mathbf{x}, t))]이어야 한다는 것이다. 여기서 [math(\displaystyle \lambda(\mathbf{x}, t))]는 어떤 함수인데, 아무래도 [math(\displaystyle \Lambda)]와 관련이 있을 것이다. 관건은 이 [math(\displaystyle \psi' = \exp{(i\lambda(\mathbf{x}, t)} \psi)]가 다음 방정식의 해, 즉 게이지 변환 된 슈뢰딩거 방정식의 해이어야 한다는 것이다. [math(\displaystyle i\hbar \frac{\partial}{\partial t} ( e^{i\lambda} \psi ) = \frac{1}{2m} ( -i\hbar \nabla + e\mathbf{A}' )^2 ( e^{i\lambda} \psi ) - e\phi' ( e^{i\lambda} \psi ) )]. 좌변은 다음과 같이 써질 것이다. [math(\displaystyle i\hbar \frac{\partial}{\partial t} ( e^{i\lambda} \psi ) = e^{i\lambda} i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi - e^{i\lambda} \hbar \frac{\partial \lambda}{\partial t} \psi)]. 우변에 [math(\displaystyle \phi' = \phi + \partial \Lambda / \partial t)], [math(\displaystyle \mathbf{A}' = \mathbf{A} + \nabla \Lambda)]를 대입하여 정리해 보자. || [math(\displaystyle \frac{1}{2m} ( -i\hbar \nabla + e\mathbf{A}' )^2 ( e^{i\lambda} \psi ) - e\phi' ( e^{i\lambda} \psi ))] [math(\displaystyle = \frac{1}{2m} ( -i\hbar \nabla + e\mathbf{A} + e\nabla \Lambda )^2 ( e^{i\lambda} \psi ) - e \left( \phi - \frac{\partial \Lambda}{\partial t} \right) ( e^{i\lambda} \psi ))] [math(\displaystyle = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 (e^{i\lambda} \psi) - \frac{ie\hbar}{2m} \nabla \cdot ( ( \mathbf{A} + \nabla \Lambda ) (e^{i\lambda} \psi) ) - \frac{ie\hbar}{2m} ( ( \mathbf{A} + \nabla \Lambda ) \cdot \nabla ) (e^{i\lambda} \psi) )] [math(\displaystyle \;\;\; + \frac{e^2}{2m} ( \mathbf{A} + \nabla \Lambda )^2 ( e^{i\lambda} \psi ) - e \left( \phi - \frac{\partial \Lambda}{\partial t} \right) ( e^{i\lambda} \psi ))] [math(\displaystyle = e^{i\lambda} \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi - \frac{ie\hbar}{2m} \nabla \cdot ( \mathbf{A} \psi ) - \frac{ie\hbar}{2m} ( \mathbf{A} \cdot \nabla ) \psi + \frac{e^2}{2m} |\mathbf{A}|^2 \psi - e \phi \psi \right))] [math(\displaystyle \;\;\; + e^{i\lambda} \left( -\frac{i\hbar^2}{m} \nabla \lambda - \frac{ie\hbar}{2m} \nabla \Lambda - \frac{ie\hbar}{2m} \nabla \Lambda \right) \cdot \nabla \psi)] [math(\displaystyle \;\;\; + e^{i\lambda} \left( \frac{\hbar^2}{2m} \nabla \lambda \cdot \nabla \lambda - \frac{i\hbar^2}{2m} \nabla^2 \lambda - \frac{ie\hbar}{2m} \nabla^2 \Lambda + \frac{e\hbar}{2m} (\mathbf{A} + \nabla \Lambda) \cdot \nabla \lambda + \frac{e\hbar}{2m} (\mathbf{A} + \nabla \Lambda) \cdot \nabla \lambda + \frac{e^2}{2m} ( 2\mathbf{A} + \nabla \Lambda ) \cdot \nabla \Lambda \right) \psi)] [math(\displaystyle \;\;\; + e^{i\lambda} e \frac{\partial \Lambda}{\partial t} \psi)] || 뭔가 엄청 복잡해 보인다. 하지만 이 우변 식은 신기하게도 [math(\displaystyle \lambda = -\frac{e}{\hbar} \Lambda)]로 놓기만 해도 완전히 좌변 식과 일치하게 된다. 즉, 위 식에서 마지막 둘째 줄과 셋째 줄은 완전히 소거되고 마지막 줄은 좌변의 마지막 항([math(\displaystyle e^{i\lambda} \hbar \frac{\partial \lambda}{\partial t} \psi)])와 일치한다. 나머지는 게이지 변환 하기 전의 슈뢰딩거 방정식(의 양변에 [math(\displaystyle e^{i\lambda})]를 곱한 것)이 되므로 항상 같다. 물론 좌변과 우변이 같으려면 [math(\displaystyle \lambda = -\frac{e}{\hbar} \Lambda)] 뿐인 것도 있다. 따라서 슈뢰딩거 방정식에서 게이지 변환은 다음과 같게 된다. [math(\displaystyle \psi \to e^{-\frac{ie}{\hbar} \Lambda} \psi)], [math(\displaystyle \phi \to \phi - \frac{\partial \Lambda}{\partial t})], [math(\displaystyle \mathbf{A} \to \mathbf{A} + \nabla \Lambda)]. 이로부터 얻을 수 있는 결론은 파동함수의 게이지 변환이 사실은 위상(phase)의 변화라는 것이다. 그런데 이 위상의 변화는 단순히 상수가 아닌 시간과 위치에 따른 함수로 나타내어진다는 것이 특이하다. 이러한 변환을 가리켜 국소적(local)인 게이지 변환이라고 부른다. 이런 식으로 전자 등의 파동함수에 대한 위상의 국소적인 변환(게이지 변환)은 양자장론에 가서 더더욱 심화된다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기